数学中什么是函数？

记得有一次，我路过一家文具店，看到门口有促销活动，买了一支笔，就免费送一个笔筒。
我当时买了三支笔，所以店员给了我三个笔筒。
那一刻我突然觉得这就像一个简单的函数关系。
如果我购买的X笔数量增加，我获得的Y笔筒数量也会相应增加。
而且，这种关系是安全的。
每次我添加一支笔，我都会得到一个额外的笔架。
这种线性关系让我想起了函数中的依赖关系。

等一下，还有一件事。
我学数学的时候，老师举了一个例子。
他说，如果一个人每小时能跑5 公里，那么跑1 0公里就需要2 个小时。
这里也存在函数关系。
时间Y是距离X的函数。
Y随着X的增加而增加，并且增加的规律是固定的。
这种规律性让我对函数有了更深入的理解。

我突然想到，生活中处处存在着功能性关系。
例如，当我们每天早上起床时，天气会发生变化，但我们起床的时间却是相对固定的。
这种改变和修复不就像函数中变量之间的关系一样吗？等等，这个问题似乎还没有答案。

【f(x)】’与f‘(x)有什么不同

昨天在咖啡馆里，我看着杯子里的水波纹蔓延开来，突然觉得这有点像函数的导数。
水波纹向外扩散的速度是否像f'(x)描述的变化率一样？ 不过，水波纹还受到杯子边缘的影响，这就复杂得多。
等等，数学中的导数是理想状态下的瞬时变化率，现实中总有一些干扰。
例如，当x=π/2 时，sin(x)的变化率为0，但实际的水波可能并不那么平滑。
当时是下午三点，阳光透过窗户照射在水玻璃上，泛起的涟漪令人眼花缭乱。
cos(x)的这种导数关系是不是就像生活中很多现象的简化模型一样？ 例如，当天气变化时，温度曲线的斜率代表了变化的速度，但影响因素实际上太多了。
等等，还有一件事。
上次我计算了自行车刹车时的速度变化率。
它与f'(x)的概念相同，但必须考虑人踩踏的力量和路面摩擦系数。
这个函数与现实的距离有多远？