双变量恒成立与存在性问题题型

常成立的问题取决于条件是否始终成立。
这说白了就是求极值。
始终设置两个变量，查看左侧的最小值和右侧的最大值。
如果左侧的最小值大于右侧的最大值，则始终为真。
非负常数为真，请参见最小函数的值。
如果最小值大于或等于 0，则始终为 true。

如果设置了非正常数，请查看函数的最大值。
如果最大值小于或等于 0，则始终为真。

存在的问题就是看有没有解决的办法。
对于非负解，请参阅函数的最大值。
如果最大值大于或等于0，则有解。

要获得正确的解，请参见函数的最小值。
如果最小值小于或等于0，则为解。

量化混杂，要看情况。
对于每场比赛，请查看最低价格比较。
有成对的，看最高价的对比。
查看所有对、比较的最大值和最小值。

核心是求最终值。
根据数量，决定是比较最低价还是最高价。

必要性探路和主元法探究双变量问题——2020届“数海二模”导数

那天我在一家咖啡馆，看着对面桌子上的人用计算器计算一堆数字，突然我想，这就像一个数学证明，我需要一步一步地找到它。
需求分析的这一部分实际上就像找路一样。
首先你需要确定大方向。
下限分析使用切线缩放 $e^x \geq ex$。
我知道这一点。
我在高中时解决了一个问题。
当时我就觉得这真是太神奇了。
指数函数比线性函数增长得更快。
当$x_1 = x_2 = 1 $时，取等号。
这一点非常重要，寻找参照物也同样重要。
上界分析，当$x_1 \to 0$、$x_2 \to 1 $时，这个转变是相当显着的，把一个极限问题变成了另一个极限问题。
然后$e^{x_1 } + e^{x_2 } \to 1 + e$，所以$\lambda + 1 \geq e + 1 $，这里我们有$\lambda \geq e$。
结合下界结果，$\lambda$ 只能是$e$，不能多也不能少。

pivot方法检查$\lambda = e$的合理性。
这更像是浇筑一条道路。
证明 $e \leq \frac{e^{x_1 } + e^{x_2 }}{x_1 + x_2 }$ 的下界，构造一个函数 $f(x)$，求导，$g'(x) > 0$ 所以 $g(x)$ 是单调递增的，这个想法相当流畅。
$g(0) < 0 xss=clean>计算$f(0)$和$f(x_2 )$，实际上是$\geq e$。
证明上限$\frac{e^{x_1 } + e^{x_2 }}{x_1 + x_2 } \leq e + 1 $。
这部分有点令人困惑。
当$x_1 \to 0$时，上限接近$e + 1 $。
主要是证明对于所有$x_2 \geq 1 $ 都存在$\frac{1 + e^{x_2 }}{x_2 } \leq e + 1 $。
构造函数$h(x)$，导数，$s'(x) > 0$，所以$s(x)$是单调递增的，$s(1 ) < 0> 0$，存在唯一的$x_3 $使得$s(x_3 ) = 0$，$h(x)$随着$[1 , x_3 )$, $(x_3 , +\infty)$的增加而减少。
接下来，分析范围$x_2 $、$x_2 \leq 1 + \frac{1 }{e}$，计算$h\left(1 + \frac{1 }{e}\right)$并需要证明$e^{1 + \frac{1 }{e}} \leq e + 1 + \frac{1 }{e}$。
构造函数 $m(x) = e^x
x
e$，$m'(x) > 0$，因此 $m(x)$ 单调递增。
$1 + \frac{1 }{e} < 2>
结论： $\lambda = e$ 存在，因此不等式始终成立。
但等等，还有更多。
是否使用了不等式在这个过程中，如$e^x \geq ex$、$x \ln x \leq \frac{1 }{e}$，对于任何$x$？特别是$x \ln x \leq \frac{1 }{e}$。
看来我只有在 $x = \frac{1 }{e}$ 时才得到等号。
某处是否有较小的值？这需要更仔细地考虑。