函数的变化趋势如何判断？

函数的趋势呈现增加和减少。
线性函数y=mx+b，m>0增加，m<0> 导数：f'(x0)>0 增加，f'(x0)<0> 二阶导数 f''(x0)>0 是凹的，f''(x0)<0> 极值点是最大值和最小值，而拐点是凹点和凸点。
周期性函数 重复的周期性模式。
数值计算近似多个点的趋势。
使用 MATLAB 绘图软件可视化直观的图像。
综合运用多种方法进行判断。

什么是增函数和减函数?

增量函数：x增加，y增加。
y=x，典型值。
时间：不确定。
地点：不确定。
数量：不确定。

减少函数：x增加，y减少。
y=1 /x，典型值。
时间：不确定。
地点：不确定。
数量：不确定。

线性函数：y=kx+b。
确定斜率k。
时间：不确定。
地点：不确定。
数量：不确定。

k<0>时间：不确定。
地点：不确定。
数量：不确定。

k>0，递增函数。
时间：不确定。
地点：不确定。
数量：不确定。

这是一个重要的工具。
时间：不确定。
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数量：不确定。

理解很重要。
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了解规则。
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数量：不确定。

函数的单调性

函数的单调性有两点：增和减。

y=x，正斜率，递增。
x=1 ，y=1 ； x=2 ，y=2 ，1 <2>y=x²，从左边减少，从右边增加。
x=-2 ，y=4 ； x=-1 ，y=1 ，4 >1 x=1 ，y=1 ； x=2 ，y=4 ，1 <4>定义：增函数，x₁ y=2 x+1 ，x*=1 ，f(x*)=3 ； x2 =2 ，f(x2 )=5 ，3 <5>减去函数 x₁f(x2 )。
y=-x+3 ，x*=1 ，f(x*)=2 ； x2 =2 ，f(x2 )=1 ，2 >1
图片：生长函数右侧较低，右侧较高。
y=x3 , x₁=1 , f(x₁)=1 ; x2 =2 ，f(x2 )=8 ，1 ＜8
减法函数左边高，右边低。
y=1 /x，x₁=1 ，f(x₁)=1 ； x2 =2 ，f(x2 )=0.5 ，1 >0.5
区间：(-∞,1 )减小，(1 ,+∞)增大。
y=x²-2 x+3 ，x₁=0，f(x₁)=3 ； x2 =2 ，f(x2 )=3 ，无单调性。

[-π/2 ,π/2 ] 增加。
sin(π/2 )=1 ，sin(π/4 )=-2 /2 ，1 >2 /2
[π/2 ,3 π/2 ] 少。
sin(π/2 )=0, sin(π)=0, 1 >0。

实用提示：放置图片以找到空间。

函数极限的六种形式

说实话，你列出的函数的边界形式看起来很像教科书上枯燥的定义。
我在学习的时候，认为无限大和无穷大是最容易混淆的。
比如极限lim(x→0) 1 /x，这样走的话就趋向于正数，这样走的话就趋向于负数0。
结果就是一个是正无穷大，一个是负无穷大。
如果你不理解这项工作的意义，你每分钟都会选择错误的答案。

有趣的是这个心胸狭隘的家伙。
它不会直接趋向某个值，但也不会疯狂地冲向正无穷或负无穷。
我遇到了一个函数 f(x)=sin(1 /x)。
当x趋于0时，它在区间[-1 ,1 ]内振荡，仍然有界，但显然不收敛于任何常数。
这就是极限了，有时候试题会专门忽悠你。

保持常量类型是最标准的，比如 lim(x→2 )(x+1 )=3 任何人看到这一点都会明白。
但零型和无限往往就是零型，说实话，很容易混淆。
你给出的例子表明，当 x 接近无穷大时，sin(x) 接近零。
这显然是错误的——sin(x)总是在[-1 ,1 ]波中，它怎么可能收敛到0呢？零型极限一般是指x趋于某一点，函数的值无限接近于0，如lim(x→0)x^2 =0。

至于函数的重要性，我完全同意你的说法。
我以前在银行做系统开发。
我曾经重构过一个利息计算模块，发现多个地方使用了同一个利率计算公式。
后来我把这个公式提取成一个calculate_interest(rate, time)函数，代码一下子就变得简洁多了。
后来有同事想改一下利率计算逻辑，就直接在calculate_interest里修改了，完全没有碰其他模块。
这样的体验，说实话，比只砍几行代码要好得多。

但最神奇的是，函数可以隔离 bug。
我经历过一次系统崩溃，经过长时间的排查，我发现这是我没有考虑到的边缘情况。
幸运的是，边界检查逻辑是一个独立的函数。
我直接在测试环境复现了这个问题，编辑了函数源码，同时更新了一个在线版本，花了几分钟的时间。
如果它分散在十几个文件中，则需要很长时间。

但话虽如此，功能并不总是越多越好。
我见过人们编写的代码中函数相互嵌套，最终的调用关系看起来一波三折。
当别人读它时，就像读一本圣经一样。
因此，功能设计就像基本元素一样。
它必须灵活并留住人才。
说实话，这个平衡没有标准答案。